Beanspruchung auf Biegung
Biegung beschreibt die Querbelastung von schlanken Bauteilen wie Balken. Ein Balken ist ein stabförmiges Bauteil, dessen Querschnittsabmessungen kleiner sind als seine Länge. Ein Balken oder ein Stab wird bei der Biegung senkrecht zu seiner Längsachse belastet. Dabei tritt auch Scherung auf, welche oftmals vernachlässigt werden kann, da sie im Verhältnis sehr klein ausfällt. Wird ein Balken auf Biegung beansprucht, wird er elastisch verformt. Die neutrale Faser, welche bei symmetrischen Bauteilen in der mitte verläuft, oder exakt dort wo der Flächenschwerpunkt ist, erfährt dabei keine Belastung. Ist also ohne Spannung. Oberhalb und Unterhalb dieses Schwerpunkts entstehen jedoch Zug- und Druckbelastungen. Zur Errechnung der Biegespannung mit der Biegehauptgleichung werden Biegemoment und Wiederstandsmoment benötigt, wobei das Flächenmoment 2. Grades ist und der Randfaserabstand. Das Flächenmoment 2. Grades ist abhängig vom Querschnitt des Balkens und der Randfaserabstand ist der Abstand vom Flächenschwerpunkt zum beanspruchten Rand. Somit ist wird die Biegespannung mit der Biegehauptgleichung errechnet.
Definition & Grundlagen
Definition
Biegung beschreibt die Querbelastung von schlanken Bauteilen wie Balken. Ein Balken ist ein stabförmiges Bauteil, dessen Querschnittsabmessungen kleiner sind als seine Länge. Ein Balken oder ein Stab wird bei der Biegung senkrecht zu seiner Längsachse belastet. Dabei tritt auch Scherung auf, welche oftmals vernachlässigt werden kann. Wird ein Balken auf Biegung beansprucht, wird er elastisch verformt. Die neutrale Faser, welche bei symmetrischen Bauteilen in der mitte verläuft, oder exakt dort wo der Flächenschwerpunkt ist, erfährt dabei keine Belastung. Ist also ohne Spannung. Oberhalb und Unterhalb dieses Schwerpunkts entstehen jedoch Zug- und Druckbelastungen. Zur Errechnung der Biegespannung mit der Biegehauptgleichung werden Biegemoment und Wiederstandsmoment benötigt, wobei das Flächenmoment 2. Grades ist und der Randfaserabstand. Das Flächenmoment 2. Grades ist abhängig vom Querschnitt des Balkens und der Randfaserabstand ist der Abstand vom Flächenschwerpunkt zum beanspruchten Rand. Somit ist wird die Biegespannung mit der Biegehauptgleichung errechnet.
Kenngrössen
- Biegespannung [N/mm²]
- Biegemoment [Nm]
- Kraft [N]
- Länge [mm]
- Wiederstandsmoment [mm³]
- Flächenmoment 2. Grades oder Flächenträgheitsmoment [mm⁴]
- Randfaserabstand [mm]
Flächenträgheitsmomente und Wiederstandsmomente
Theorie & Hintergrund
Biegehauptgleichung
Die Biegespannung ist abhängig vom Randfaserabstand . Die maximale Biegespannung kann auch als Randfaserspannung bezeichnet werden, da an der Randfaser die Zug- und Druckbelastungen am höchsten sind. Das heisst anhand der Biegehauptgleichung werden die Maximalspannungen errechnet, welche zur prüfung der Festigkeit benötigt werden.
Anhand der Zeichnung ist zu erkennen, wo sich die Zug- und Druckzonen befinden. Die Zugbeanspruchung ist meist das schlimmere Übel. Ist aber abhängig vom Material und der Anwendung. Mit der Biegehauptgleichung wird der Höchstbelastete Punkt berechnet, der auch in der Praxis versagen würde. Hat man abgesetzte Bauteile, welche nicht Balkenförmig sind, ist das Biegemoment an allen Übergangsstellen zu ermitteln.
Ermittlung der Biegemomente an abgesetzten Bauteilen
Hat man ein Bauteil mit gleichbleibendem Querschnitt, oder Abschnittsweise gleichbleibendem Querschnitt, ist immer das maximale Biegemoment, dass an dieser Stelle wirkt massgebend. Hierzu kann man das Biegemoment grafisch an jeder Stelle des Bauteils ermitteln. Hier ein einfaches Beispiel.
Wie man in der Zeichnung oben sieht, kann man die Geometrie des Bauteils nehmen und die Kräfte einzeichnen. Danach kann man die geometrisch wichtigen Punkte und die Angriffspunkte mit vertikalen Linien nach unten weiterführen. Dann kann man die wirkenden Querkräfte und die wirkenden Biegemomente aufskizzieren. Somit haben wir das Biegemoment an drei Punkten bestimmt. Damit kann man nun die Auslegung des Bauteils durchführen.
Anwendung & Praxis
Die Berechnung der Biegespannung wird im Maschinenbau und in der Statik sehr häufig benötigt. Sobald man Stab- oder Balkenförmige Bauteile einsetzt und diese durch das Eigengewicht oder durch andere Lasten quer beansprucht werden, ist es nötig die Biegebanspruchung zu berechnen. Ein gutes Beispiel dafür ist z. B. ein Kranausleger. Die Gesamtkonstruktion des Auslegers kann als stabförmig betrachtet werden, aber auch die einzelnen Stäbe in dieser Konstruktion können Biegebeanspruchungen ausgesetzt werden.
Beispiele & Berechnungen
Maximale Biegespannung eines einseitig angeschweissten Vierkantrohrs
Wir haben ein Vierkantrohr, welches an einer Seite angeschweisst ist mit der Länge .
Am nicht angeschweissten Ende des Rohrs wirkt eine Kraft .
Das Rohr dat die Dimensionen aussen und innen.
Aus Kraft und Länge lässt sich das Biegemoment errechnen.
Aus den Domensionen des Rohrs lässt sich das Wiederstandmoment berechnen.
Somit ist die Biegespannung .