Hookesches Gesetz: Linear elastische Verformung von Festkörpern

Das Hookesche Gesetz befasst sich mit der linear elastische Verformung von Festkörpern. Dieses Verhalten gilt für Federn und auch für massive Stahlkonstruktionen.

Definition & Grundlagen

Definition

Das Hookesche Gesetz (gefunden vom englischen Physiker Robert Hooke) beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung innerhalb des elastischen Bereichs eines Festkörpers. Es gilt nur, solange die Proportionalitätsgrenze des Werkstoffs nicht überschritten wird. Das heisst, es gilt, solange keine plastische Formänderung eines Werkstücks stattfindet. Die Materialkonstante wid mithilfe des Zugversuchs ermittelt. Beim Zugversuch entsteht eine Dehnung . Dehnungen können auch durch Temparaturänderung hervorgerufen werden. Wird ein Stab gleichförmig erwärmt, ist die Wärmedehnung proportional zur Temperaturänderung . Der Proportionalitätsfaktor ist dabei der thermische Längenausdehnungskoeffizient . Somit ist .

Kenngrössen, Formelzeichen und Einheiten

- Normalspannung [N/mm²]=[MPa]

- Dehnung

- Querdehnung

- Wärmedehnung

- Elastizitätsmodul [GPa]

- Schubmodul [GPa]

- Zugkraft [N]

- Gesamtlänge [mm]

- Ursprungslänge [mm]

- Längenänderung [mm]

- Dicke [mm]

- ursprüngliche Dicke [mm]

- Dickenänderung [mm]

- Längenausdehnungskoeffizient [K⁻¹]

- Temperaturänderung [K]

Kennwerte

Elastizitätsmodul

Längenausdehnungskoeffizient

Theorie & Hintergrund

Längendehnung

Ein Körper hat im unbelasteten Zustand immer eine Ursprungslänge . Belastet man den Körper auf Zug, dehnt sich dieser Körper um auf die Länge . Die Dehnung resultiert aus .

Die Längenänderung verhält sich dabei proportional. Würde sich ein Stab unter einer bestimmten Kraft um 1 mm verlängern, würde er sich bei doppelter aufgewendeter Kraft um 2 mm verlängern. Das gleiche Prinzip gilt auch bei Federn. Würde man den Stab entlasten, geht er wieder in die Ursprungslänge zurück.

Querdehnung

Die Querdehnung beschreibt die Änderung des Durchmessers eines Stabs oder eines anderen Werkstücks unter Zug- oder Druckbelastung. Dies kann man z. B. bei einem Gummiband, welches man dehnt gut beobachten. Hier gilt dasselbe Prinzip wie bei der Längenänderung. .

Wärmedehnung

Auch hier gilt dasselbe Prinzip wie bei der Dehnung durch Zug- oder Druckspannung. Erwärmt man einen Stab, ändert er seine Länge je nach Temperaturdifferenz . Dabei ist die Längenänderung auch abhängig vom Längenausdehnungskoeffizienten . Dieser ist wiederum abhängig vom Stoff. Z. B. Stahl und Aluminium haben einen anderen Koeffizienten. Bei der Erwärmung wirkt sich die Ausdehnung in jeder Richtung gleich aus, das heisst man hat z. B. eine Zunahme des Volumens. Hier gilt .

Anwendung & Praxis

In der Praxis finden sich viele Anwendungsbeispiele. Z. B. dürfen sich montierte Grosswälzlager auf einer Montagefläche nicht zu sehr elastisch verformen, da es zu geringeren Standzeiten der Komponente führen kann. Die elastische Verformung ist wiederum abhängig von der Montagefläche, welche plan sein muss und sich ebenfalls nicht zu sehr elastisch deformieren soll. Die elastische Verformung dieser Fläche, hängt wiederum davon ab, wieviel Kraft auf den Körper wirkt, welcher über die Montagefläche verfügt.

Beispiele & Berechnungen

Längendehnung unter Zugbelastung

Ein Zugstab mit einer Querschnittsfläche von und einer Länge von wird mit einer Kraft von gezogen.

Es entsteht eine Spannung von .

Der Stab besteht aus Stahl und verfügt über das E-Modul oder .

Daraus resultier die Dehnung .

Die Längenänderung .

Demnach ist die Gesamtlänge des Stabs danach .

Wärmedehnung von Stahl unter Temperaturänderung

Ein Zugstab mit einer Querschnittsfläche von und einer Länge von wird von auf abgekühlt.

Die Ursprungslänge beträgt .

Der Stab besteht aus Stahl und hat somit einen Längenausdehnungskoeffizienten von .